Chiziqli fazo. O'lcham va Bazis. Turli bazislarda vektor orasidagi bog'lanish.

# Kirish qismi

# Mavzuning dolzarbligi

Chiziqli fazo. O'lcham va Bazis. Turli bazislarda vektor orasidagi bog'lanish mavzusi bo'yicha o'quv qo'llanma materiallari yetarli emas va matinlarda bazi kamchiliklar mavjud.

# Maqsad va vazifalar

Chiziqli fazo. O'lcham va Bazis. Turli bazislarda vektor orasidagi bog'lanish bo'yicha tarif teorema isbot formulalar va misollar keltirib o'tilgan, mavzuni o'zlashtirish qulay bo'lishi uchun bazi o'zgartirishlar kiritildi.

# Asosiy qisim

# Chiziqli fazo. O'lcham va bazis.Turli bazislarda vector koordinatalari orasidagi bog'lanish.

Bizga to'plam berilgan bo'lsin. elementlarga ularning yig'indisi deb ataluvchi elementni mos qo'yib, uni ko'rinishda belgilab olamiz. Shuningdek, biror maydondan olingan ixtiyoriy sonini elementga ko'paytmasi sifatida elementni mos qo'yamiz va uni ko'rinishda belgilaymiz.

Tarif 1. Agar to'plamda aniqlangan qo'shish va songa ko'paytirish amallari quyidagi shartlarini qanoatlantirsa, to`plam chiziqli fazo deyiladi:

(kommutativ sharti);
(assosiativlik sharti);
shunday element mavjud bo`lib, har qanday uchun , bu yerdagi 0 elementi nol element deyiladi;
har qanday uchun bilan belgilanadigan shunday element mavjud bo`lib, ;
;
.

bu yerda, .

Misol 1.

a) Haqiqiy (kompleks) sonlar maydoni o'z ustida chizqli fazo tashkil etadi.

b) Teksilkdagi (fazodagi) vektorlar to'plami vektorlarni qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi.

c) Darajasi n dan oshmaydigan haqiqiy (kompleks) koeffitseientli barcha ko'phadlar to'plami ko'phadlarni qo'shish va ko'phadni songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi.

d) Barcha - tartibli matritsalar to'plami matritsalarni qo'shish va matritsani songa ko'paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil etadi.

Chiziqli fazo elementlarini vektorlar deb atash qabul qilingan. Agar chiziqli fazo haqiqiy (kompleks) sonlar maydonida berilgan bo'lsa haqiqiy (kompleks) chiziqli fazo deyiladi.

Bizga chiziqli fazo berilgan bo'lib, vektorlar chiziqli fazoning elementlari bo'lsin. yig'indi vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deyiladi, bu yerda .

Tarif 2. Agar kamida bittaasi noldan farqli bo'lgan sonlar mavjud bo'lib,

a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=0

tenglik o'rinli bo'lsa, u holda vektorlar chiziqli bog'liq vektorlar deyiladi.

Chiziqli bog'liq bo'lmagan vektorlar chiziqli erkli vektorlar deyiladi. Ya'ni, (1) tenglik bo'lgan holdagina o'rinli bo'lsa, vektorlar chiziqli erkli vektorlar deyiladi.

Tasdiq 1. Agar vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsin. U holda (1) chiziqli kombinatsiyadagi koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farqli. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda, deb olishimiz mumkin. U holda tenglikdan

x_1=-\dfrac{a_2}{a_1}x_2-\dfrac{a_3}{a_1}x_3-\dots-\dfrac{a_n}{a_1}x_n

kelib chiqadi. , kabi belgilasak, vektor vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi shaklida

x_1 = \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 + \dots + \lambda_n x_n

kabi ifodalanishini hosil qilamiz.

Aksincha, agar vektor vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi shaklida (3) kabi ifodalansa,

x_1-\lambda_2x_2-\lambda_3x_3-\dots-\lambda_nx_n=0

tenglikdan vektorlarning chiziqli bog'liq ekanligi kelib chiqadi.

Misol 2. Agar vektorlar orasida nol vektor bo'lsa, u holda bu vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi.

Endi fazoning o'lchami tushunchasini kiritamiz.

Tarif 3. Agar V chiziqli fazoda n ta chiziqli erkli vektorlar mavjud bo'lib, bundan ortiq sondagi chiziqli erkli vektorlar mavjud bo'lmasa, V chiziqli fazo n o'lchamli fazo deyiladi. Chiziqli fazoning o'lchami dim(V) kabi belgilanadi.

Agar fazoda cheksiz ko'p chiziqli erkli vektorlar mavjud bo'lsa, u holda V fazo cheksiz o'lchamli fazo deyiladi.

Tarif 4. n o`lchamli V fazodagi n ta chizqli erkli $ e_1, e_2, \dots, e_n $ vektorlar V fazoning \textbf{bazisi} deb ataladi.

Misol 3.

a) To'g'ri chiziqdagi vektorlar to'plamida har qanday ikki vektor proporsional, ya'ni chiziqli bog'liqdir. Demak, to'g'ri chiziq bir o'lchamli fazoga misol bo'ladi.

b) Tekislikda ikkita chiziqli erkli vector mavjud, ammo xar qanday uchta vektor chiziqli bog'liq bo'ladi. Bundan esa, tekislik ikki o'lchamli chiziqli fazo ekanligi kelib chiqadi.

Bizga o'lchamli chiziqli fazo va uning biror bazisi berilgan bo'lsin.

Teorema 1. o'lchamli chiziqli fazoning ixtiyoriy elementini bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali yagona ravishda ifodalash mumkin.

Isobt 1. Bizga element va bazis berilgan bo'lsin. Chiziqli fazo o'lchamli bo'lganligi uchun ta vektordan iborat $ e_1, e_2, \dots, e_n $ vektorlar chiziqli bo'g'liq bo'ladi. Demak, kamida bittasi noldan farqli bo'lgan sonlar topilib,

\alpha_0x+\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\dots+\alpha_ne_n=0

bo'ladi. Agar bo'lsa, tenglikdan va vektorlarning chiziqli erkli ekanligidan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa yuqoridagi mulohazaga zid. Demak, bo'lib,

x=-\dfrac{a_1}{a_0}e_1-\dfrac{a_2}{a_0}e_2-\dots-\dfrac{a_n}{a_0}e_n

ekanligi kelib chiqadi, ya'ni vektor vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi.

Endi hosil qilingan ifodaning yagona ekanligini ko'rsatamiz. Faraz qilaylik, x vektorning bazis vektorlar orqali ikki hil ifodasi mavjud bo'lsin, ya'ni:

x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\dots+\xi_ne_n

x=\eta_1e_1+\eta_2e_2+\dots+\eta_ne_n

Bu (7) va (8) ifodalarni tenglab,

(\xi_1-\eta_1)e_1+(\xi_2-\eta_2)e_2+\dots+(\xi_n-\eta_n)e_n=0

tenglikni hosil qilamiz.

vektorlar chiziqli erkli bo'lgani uchun, bu tenglik bo'lgandagina o'rinlidir.

Tarif 5. vektorlar n o'lchamli fazoning bazisi bo'lib, (7) bo'lsa, u holda sonlar vektorning bazisdagi koordinatalari deb ataladi.

Teorema 1ga muvofiq, ma'lum bazisda xar bir vektor bir qiymatli aniqlanadigan koordinatalarga ega.

Agar va vektor bazisda mos ravishda va koordinatalarga ega bo'lsa, ya'ni

x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\dots+\xi_ne_n

y=\nu_1e_1+\nu_2e_2+\dots+\nu_ne_n

U holda vektor kordinatalarga ega bo'ladi. ya'ni

x+y=(\xi_1+\nu_1)e_1+(\xi_2+\nu_2)e_2+\dots+(\xi_n+\nu_n)e_n

Shunday qilib, va vektorlarni qo'shishda ularning bir hil bazisdagi koordinatalari yig'indisi olinadi.

vektorni soniga ko'paytirishda esa uning xar bir koordinatasi shu songa ko'paytiriladi.

Misol 4. a) Bizga uch o'lchamli haqiqiy vektor fazo berilgan bo'lsin. Bu fazoda vektorlar bazis tashkil qiladi va ixtiyoriy vektorning ushbu bazisdagi kordinatalari bo'ladi.

b) $V=P_n(t) $ darajasi n dan oshmaydigan ko'phadlardan iborat bo'lgan fazo bo'lsin. Bu fazoda vektorlar to'plami bazis tashkil qiladi, ya'ni . Ushbu bazisda ixtiyoriy ko'phad koordinatalari uning koeffitsientlaridan iborat bo'ladi.

Agar fazoda boshqa bazis

e_1^\prime=1,e_2^\prime=t-a,\dots,e_{n+1}^\prime=(t-a)^n

tanlasak, u holda ko'phadning bu bazisdagi koordinatalarini topish uchun uni Teylor qatoriga yoyiladi:

f(t)=f(a)+f^\prime(a)(t-a)+\dots+\dfrac{f^{(n)}}{n!}(t-a)^n

Demak, ko'phadning (13) bazisdagi kordinatalari ko'rinishda bo'ladi.

Endi chiziqli fazolar izomorfizmi tushunchasini kiritamiz.

Tarif 6. Bizga va chiziqli fazolar berilgan bo'lsin. Agar va vektorlar orasida shunday o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatish mumkin bo'lib, va , hamda va vektorning mosligidan

vektor $ x^\prime + y^\prime $ vektorga mosligi;
vektor $\lambda x^\prime $ vektorga mosligi;

kelib chiqsa, u holda va chiziqli fazolar izomorf fazolar deyiladi.

Teorema 2. Bir hil o'lchamga ega bo'lgan barcha chiziqli fazolar bir-birlariga izomorfdir.

Isbot 2. Aytaylik, va chiziqli fazolar o'lchamli fazolar bo'lsin. va fazolar mos ravishda va bazislarni tanlab olamiz. fazodan olingan ixtiyoriy (10) vektorga fazodagi vektorni mos qo'yamiz.

Bu moslik o'zaro bir qiymatli bo'ladi. Haqiqatan ham, har bir vektor (10) ko'rinishida yagona ravishda tasvirlangani uchun vektor ham bir qiymatli aniqlangadi. va fazolarning teng o'lchamli ekanligini e'tiborga olsak, xar bir vektorlarga V ning faqat bittagina elementi to'g'ri keladi. Demak, bu moslik bir qiymatli moslik ekan.

Agar va bo'lib, va bo'lsa, u holda

x+y=(\xi_1+\eta_1)e_1+(\xi_2+\eta_2)e_2+\dots+(\xi_n+\eta_n)e_n

ekanligidan kelib chiqadi. Xuddi shunday moslik ham osongina kelib chiqadi.

Endi vektor fazoning bazisi o'zgarganda vektorning koordinatalarini qanday o'zgarishi keltiramiz.

Aytaylik, o'lchamli vektor fazoda va bazislar berilgan bo'lib, x vektorning birinchi bazisdagi koordinatalari ikkinchi bazisdagi koordinatalari bo'lsin. U holda

x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\dots+\xi_ne_n=\xi^\prime_1e^\prime_1+\xi^\prime_2e^\prime_2+\dots+\xi^\prime_ne^\prime_n

Xar bir vektor vektorlar orqali quyidagicha ifodalansin:

\left\{ \begin{array}{l} e^\prime_1=a_{1,2}e_1+a_{2,1}+\dots+a_{n,1}e_n,\\ e^\prime_1=a_{1,2}e_1+a_{2,1}+\dots+a_{n,1}e_n,\\ \dotfill\\ e^\prime_1=a_{1,2}e_1+a_{2,1}+\dots+a_{n,1}e_n. \end{array} \right.

U holda birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o'tish matritsasi orqali ifodalanadi. Ma'lumki, ushbu matritsaning determinanti noldan farqli.

Yuqoridagi tenglikdan [ \begin{array}{c} x=\xi_1e_1+\xi_2e_2+\dots+\xi_ne_n=\ =\xi^\prime_1(a_{1,1}e_1+a_{2,1}e_2+\dots+a_{n,1}e_n)+\ +\xi^\prime_2(a_{1,2}e_1+a_{2,2}e_2+\dots+a_{n,2}e_n)+\ +\dotfill+\ +\xi^\prime_n(a_{1,n}e_1+a_{2,n}e_2+\dots+a_{n,n}e_n). \end{array} ]

Demak, berilgan vektorning kordinatalari orasida quyidagi munosabat o'rinli:

# [ \left( \begin{array}{c} \xi_1\ \xi_2\ \vdots\ \xi_n \end{array} \right)

\left( \begin{array}{llll} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \xi^\prime_1\ \xi^\prime_2\ \vdots \ \xi^\prime_n \end{array} \right) ]

Bundan esa,

# [ \left( \begin{array}{c} \xi^\prime_1\ \xi^\prime_2\ \vdots \ \xi^\prime_n \end{array} \right)

\left( \begin{array}{llll} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \ \end{array} \right)^{-1} \cdot \left( \begin{array}{c} \xi_1\ \xi_2\ \vdots\ \xi_n \end{array} \right) ] hosil bo`ladi.

# Yakuniy qisim

# Xulosa

Shunday qilib, vektorning ikkinchi bazisdagi koordinatalari, birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o'tish matritsasi teskarisi bilan birinchi bazisdagi koordinatalari ko'paytmasiga teng.

# Foydalanilgan adabiyotlar

Darsda ko'rsatilgan \mavzu mavzusi bo'yicha qo'llanmani nushasini \LaTeX da qaytadan yozib chiqdim asosiy foydalanilgan adabiyotni aniqlashtirganimdan keyin yozib qo'yaman.

P.S. Bu olingan materialdan bir qancha hato kamchiliklarini to'g'irlab yozdim.